Sistemas numericos

Antes de comenzar tu curso de algebre del grado octavo tenés que tener en cuenta que los números "positivos" no son los únicos existentes, por lo tanto debemos repasar los sistemas numéricos existentes:

A) Los Números Naturales.

Son llamados también números positivos, este sistema numérico se representa por N y hacen parte de el el cero (0) y los numeros desde el uno (1) hasta infinito (∞), es decir,{0, 1,  2, 3, ..... +∞}

B) Los números Enteros.

Este sistema numérico incluye los enteros positivos(Z+) que son los mismos números naturales N y los enteros negativos (Z-), es en este sistema que se incluyen los números negativos , el cero y los positivos, tal y como los conoces en la recta numérica

                    - ∞     -2      -1      0       1        2     + ∞

Entre estos números Z se pueden hacer operaciones tales como la suma y su inversa (resta), multipicación y su inversa (división), así:

Suma y resta: Para sumar y / o restar enteros se tiene en cuenta los signos y pueden ocurrir dos casos:

1. Que los números tengan igual signo: Solo se deben sumar los valores y se les asigna el mismo signo.

Ejemplos:

4 + 5 + 8, como tienen igual signo: +4, +5 y +8, se suman y se les agrega el signo positivo: +4 +5 +8 = + 17 

-8 -7 - 4, como tienen igual signo: -8, -7, -4, se suman y se les asigna el signo negativo: -8 -7 -4 = -19

2. Que los números tengan diferente signo: Se restan y se les asigna el signo de la mayor cantidad.

Ejemplos:

-10 +4, como el 10 es mayor que el 4, entonces se restan y se les coloca el signo negativo ya que el 10 es el mayor. y como 10-4 = 6,

-10 + 4 = - 6

 

+14 + 20 - 5, aquí se pueden sumar primero los positivos y luego restar el valor negativo, así:

+ 14+ 20 = + 34

+34 - 5 = +29

 

- 50 - 10 + 15 + 9

- 50 - 10 = - 60

+ 15 + 9 = +24

entonces, - 60 + 24 =  - 36

Para la multiplicación y la división, se aplica la famosa "Ley de los signos", donde el producto de iguales da como resultado positivo y el producto de contrarios da negativo, así:

+ x + = +

- x - = +

+ x - = -

- x + = -

Ejemplos:

-8 x -10, como - x - = +, entonces +80

60 / - 20, como + x - = -, entonces -3

(-5) * (-10) * (40)

- x - = +, +50

+ x + = +,  200

 

C) Los números Racionales.

Este sistema numérico se representa por Q, y son todos aquellos números que se escriben como un cociente o división, son conocidos en nuestro medio como números "quebrados" o "fraccionarios", este sistema también incluye a todos los decimales que sean finitos y los infinitos pero periodicos.

Los números racionales en forma de fraccionario presentan 2 elementos:

Numerador -------- 5

Denominador ------9

Por ejemplo,

El 2.5 es decimal finito, porque "tiene fín"

El 1.33333333333.... es un decimal infinito pero es periodico ya que el 3 se repite hasta infinito. 

 

OPERACIONES ENTRE NUMEROS RACIONALES:

1. SUMA Y RESTA: Para sumar y restar números racionales (Q), existen 2 casos especiales:

1.1. Cuando Presentan igual denominador: Si los fraccionarios a sumar o a restar tienen el mismo denominador, entonces, se suman o restan, según el caso, los numeradores y se coloca el mismo denominador, así:

* 4 / 9  + 8 / 9 , la operación pedida es una suma, por lo tanto se suma el 4 y el 8 (numeradores) y se coloca el mismo denominador

(4 + 8) = 13, entonces la solución es 13 / 9

* 2 / 5 + 7 / 5 = (2 + 7) = 9, entonces la solución es 7 / 5

* 2 / 3 - 8 / 3 = (2 - 8) = -6, entonces la solución es - 6 / 3

* - 9 / 6 - 10 / 6 = (- 9 - 10) = - 19, entonces la solución es - 19 / 6

1.2. Cuando presentan diferente denominador: Si los fraccionarios tienen diferente denominador, se multiplican los denominadores y cada numerador debe ser multiplicado por el o los numeradores de las fracciones ajenas, así:

2   +   3 =    (2 * 5) + (3 * 4)    =   10 + 12      =    22 

                        (4 * 5)                   20                 20

 

8   +   2   +   6   = (8 * 3 * 2) + (2 * 6 * 2) + (6 * 6 * 3)  = 48 + 24 + 108 180

6        3         2                               (6 * 3 * 2)                              36                    36

 

- 5  +    - 10  = (-5 * 3 * 2) (2 * 4 * 2) (-10 * 4 * 3)  = - 30 + 16 - 120  =-134

  4       3       2                           (4 * 3 * 2)                                          24           24

 

2. Multiplicación: Para multiplicar 2 ó más fracciones, se multiplica numeradores entre si y denominadores entre si, teniendo en cuenta la ley de los signos.

5   *   10   =   (5 * 10)   =   50

2         3          (2 * 3)          6

 

- 20   *   5     3    =   (-20* 5 * 3)   =   - 300

   4         2       6            (4 * 2 * 6)    =      48

 

3. División: Cuando se quieren multiplicar 2 fraccionarios, apelamos a la "ley de medios y extremos" o  como la llaman comunmente "ley de la oreja", en esta se multiplican los valores de los extremos entre si y os de la mitad entre si, veamos:

-10  /   2

  5         3

 

   - 10  

      5                   =   (- 10 * 3)    =    - 30     

      2                           (5 * 2)               10

      3

 

 

d) Los números Irracionales.

Se representan por la letra I, a este sistema pertenecen todos los números que cumplan con las siguientes condiciones:

  • Deben ser infuinitos.
  • No deben ser periódicos (o repetitivos).

 

e) Los Números Reales.

Este sistema numérico se representa con R y es la unión de los números Naturales (N) + los enteros negativos (Z - ) + los racionales (Q) + los Irracionales (I), es decir,

R = N U Z - U Q U I